בנם של בריגיתה ואורי. נולד ביום י"ד בתשרי תשי"ט (28.9.1958) בחיפה. אח צעיר לבועז.
אסף גדל והתחנך ברובע כרמל שבחיפה. למד בבית הספר היסודי "זכרון יוסף – אחוזה" ומכיתה ז' ב"עירוני ה'" בעירו. בכיתה י' עבר לבית הספר "מבואות ים" במכמורת, שם למד בתנאי פנימייה.
חלק גדול מילדותו בילה בחיק הטבע אצל סבתו, אם אימו, בבית בודד בלב שטח חקלאי בחדרה. שם נחשף לחיי הכפר – פרדס, מקשת אבטיחים, לול תרנגולות וענפי חקלאות נוספים שבהם עסקו סבתו ואחותה.
בשעות הפנאי שיחק כדורגל, ובערבי שישי רקד ריקודי עם במגרש "אורנים".
בגיל שמונה-עשרה התגייס לצה"ל ושובץ בחיל הים. התקבל לקורס חובלים, ובמהלך ההכשרה הממושכת השתתף בין היתר בסדרת צלילות במי נחל הקישון. בתום הקורס הוצב ביחידת ספינות "דבור", ושם נשאר לכל אורך השירות.
עם שחרורו מצה"ל למד לימודי קצין שלישי ושני בבית הספר לקציני ים בעכו. בתום הלימודים החל לעבוד בצי הסוחר הישראלי.
אסף הכיר את אילת, ובהיותו בן עשרים וארבע הם נישאו. נולד להם בן – איתמר.
ב-1986 נפרדו בני הזוג.
כמה שנים אחר כך, ב-1989, במהלך לימודיו לקצין ראשון, הכיר אסף את מיה, השניים התאהבו והתחתנו. עם תום לימודיו בארץ הם נסעו יחד לאנגליה, ושם החל ללמוד משפטים באוניברסיטת "הטפילד", במחוז הרטפורדשייר צפונית ללונדון.
בתום לימודיו שבו בני הזוג לארץ והשתקעו בחיפה. אסף קיבל הסמכה לעריכת דין והתמחה במשרד עורכי דין שעוסקים בתחומי ים וימאות "פרידמן". עם סיום ההתמחות עבד במשך כשנה במשרד עורכי דין "שילה גבעון", ולימים הקים בעצמו משרד לעריכת דין בתחומי הים והימאות – "אסף אדר ושות'". ברבות השנים שימש מרצה למשפט ימי באוניברסיטת חיפה לחניכי קורס חובלים, והעביר קורסים במשפט ימי לרבי חובלים במכון להכשרה ימית בעכו.
בן ובת נולדו לו ולמיה – אלון נולד ב-1996 ומיקה ב-1999. בשנת 2000 המשפחה עברה לגור ביישובי חוף הכרמל, עד שבשנת 2010 בנו בית במושב עופר, השוכן למרגלות רכס הכרמל, ושם השתקעו.
לאורך כל חייו נודע כ"איש ים" – כמפרשן חובב קנה מפרשית קטמרן, הפליג בה מדי שבת והשתתף בתחרויות שייט ארציות, באופן קבוע ובכל עונות השנה שייט בקיאק גלים, ולעיתים יצא עם שני הכלבים שלו לטייל על חוף הים או רק רבץ על החול ורחץ במים. החלום המשותף לו ולרעייתו היה לעבור לגור ביאכטה באיים הקנריים.
אסף בורך בצניעות טבעית, בנועם, בחוש הומור, בשמחת חיים ובאופטימיות. במצבי לחץ בלט בתושייה, באומץ לב ובתבונה שקטה ונשאר חד וממוקד, ועל כן אפשר היה לסמוך עליו. חוש צדק מפותח, יושר והגינות אפיינו אותו אף הם. תמיד נכון לתת לזולת ולעזור לכל אדם – חבר, מכר או עובר אורח שנקלע לצרה. כשמצא כלבים נטושים חיפש אחר בעליהם, או מצא להם בית חם.
ידיו היו ידי זהב. הוא התעקש לפתור כל בעיה טכנית או תחזוקתית בעצמו, ועל פי רוב הצליח בכך. ידע לאלתר ואתגר את עצמו, לפעמים אף במחיר של פציעה קלה (שלעיתים הייתה מסתיימת במיון), כפי שתיארה רעייתו.
אסף שמר על בריאותו, הקפיד על תזונה בריאה והרבה בפעילות גופנית. אך במאי 2020, בהיותו בן שישים ואחת, התגלתה בגופו מחלת הסרטן, אשר התפתחה לאחר שבמסגרת הכשרתו הצבאית צלל במי נחל הקישון המזוהמים.
במשך חמישה חודשים נאבק על חייו.
אסף אדר נפטר ביום ו' בכסלו תשפ"א (22.11.2020). בן שישים ושתיים בפטירתו. הובא למנוחות בטקס בבית הלוויות "עלי שלכת". הותיר אישה, שני בנים ובת, נכד ואח.
כתבה רעייתו מיה: "פה נגדעו חייו והתהפכו חיינו. הפכנו למשפחת שכול. ילדיו ללא אביהם האהוב, ואני ללא אהוב ליבי בשיא חיינו. ולא סתם 'בן זוג' – חיינו המשותפים היו צפופים ומלאי ביחד, החבר הכי קרוב שלי. לכתוב עליו זה שוב פצע פתוח, שביום יום נח עם משככי כאבים... אין לתאר ואי אפשר לקחת אותו מחיינו – לנצח יישאר איתנו".
בתו מיקה כתבה: "אבא שלי, אף פעם לא דמיינתי שאצטרך לכתוב עליך כדי לספר לאנשים מי היית. אני לא יודעת אם אי פעם אצליח. התיאור הכי טוב שלי הוא אני, למזלי אני זה אתה ואתה חי בתוכי תמיד".
כתב אחיו בועז: "אסף היה אח במלוא מובן המילה. היינו מדברים בטלפון לפחות פעם ביום ונפגשים בסופי שבוע. בכל דבר הקשור לעסקיי היה לי עם מי להתייעץ, לקבל רעיון אחר מהמקובל. החופשות שהיינו יוצאים יחד זכורות כטובות ביותר... עבורנו משפחת אדר זו אבידה עצומה".
כתבה טל, אחייניתו: "אסף הדוד שלי האהוב, המצחיק, השנון, החכם. קשה להאמין שאתה לא פה איתנו ... אם היה אפשר עוד שיחה אחת איתך, שתבשל לנו עוד ארוחת דגים טובה, עוד נסיעה משותפת לחו"ל, עוד כמה דקות ליד המיטה שלך, להחזיק לך את היד, להסתכל עליך בפעם האחרונה, עוד קצת מאספי שלנו. ילד היית, וילד תישאר. אנחנו נחיה עם הכאב והגעגוע, אתה נוכח, והחסר – מרגישים אותו מדי יום. אתה בלב של כולנו, ואנחנו אוהבים אותך מאוד".
חבריו מקורס החובלים העניקו לרעייתו ולילדיו את הספר "אח"י פלברה" המאגד סיפורי הווי מהקורס לדורותיו, וכתבו בהקדשה: "חיוכו הגדול, השובב ומלא החיים של אסף, סימן ההיכר שלו, נצור בזיכרון של כל אחד מחבריו בחיל הים ובעיקר ממחזור ל"ו בחובלים ... נזכור את אסף לעד באהבה גדולה".
ב-31.3.2023 נערך טקס נטיעת "יער החובל" בפארק השרון, יער שיזמו בוגרי קורסי חובלים, ובמקום הוקדש לאסף לוח זיכרון.